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Modelo matemático del desarrollo de la nueva teoría de sistemas de ecuaciones de relaciones comunes.

 

 

 

Autor: Jesús Parada Fernández.

Jesús Parada Fernández nació en Vigo (Pontevedra) el 12 de abril de 1970. En su infancia, a la edad de 10 años, se interesa por las matemáticas y las ciencias. Aficionado a la astronomía y a las ciencias del conocimiento físico y matemático.

En su etapa de bachiller en el Instituto Daniel Castelao (Vigo), diseña las bases de “La Ingeniería de las estructuras matemáticas” y comienza a interesarse por la literatura, así como por las obras de varios de sus profesores, actualmente escritores y poetas de la literatura gallega. Escribe obras de narrativa relacionadas con las ciencias del conocimiento.

En 1990 realiza Estudios en Empresariales en la Universidad de Vigo y trabaja en la empresa familiar de informática y ofimática. En 1994 planifica negocios en el sector de la hostelería, al que se dedicará profesionalmente desde 1999, como gestor y responsable de marketing en la empresa familiar. En su tiempo libre se dedica a la investigación de nuevos diseños estructurales en la Ingeniería de las estructuras matemáticas, y escribe narrativa y relatos cortos.

 

Título:

Modelo matemático del desarrollo de la nueva teoría de sistemas de ecuaciones de relaciones comunes. Modelo SERC: Ingeniería de las estructuras matemáticas.

 

El Sistema de Ecuaciones de Relaciones Comunes-modelo “SERC”  es un diseño estructural que desarrolla nuevas técnicas en la ingeniería de las estructuras matemáticas de los sistemas matriciales; es decir, estudia “La Ingeniería de las estructuras matemáticas”. Este diseño estructural se crea a través del desarrollo de dos modelos sistemáticos: Modelo Directo o de Intercambio de componentes y  Modelo Indirecto de Relaciones variables, y su aplicación se estructura en los sistemas de ecuaciones lineales de relaciones comunes, con la composición de la matriz geométrica tridimensional, de las funciones bidimensionales, y de una base de matriz columna. Estos modelos se aplican para poder crear una matriz que según sus propiedades pueda optimizar, minimizar, segmentar o generar un efecto multiplicador en los resultados concluyentes de las operaciones del modelo matemático.

El desarrollo de la base de componentes de matriz columna esta relacionada con la geometría aplicada, y estudia nuevas técnicas en la configuración de nidos geométricos complejos (escalera de caracol, cúpula estelar, etc). Estas formas geométricas nos amplía el mundo geométrico hacia otras dimensiones.

Esta obra esta elaborada como manual de navegación para el desarrollo de nuevos sistemas de ecuaciones de relaciones comunes.

El desarrollo de esta nueva teoría de sistemas denominada “SERC” es un proceso de investigación y desarrollo en el campo del análisis matemático y dirigido a profesores y universitarios de los departamentos de matemáticas aplicadas.

MODELO MATEMÁTICO DEL DESARROLLO

DE LA NUEVA TEORÍA DE SISTEMAS

DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES.

 

INTRODUCCIÓN: DEFINICIÓN Y CONCEPTOS BÁSICOS DEL MODELO MATEMÁTICO DEL DESARROLLO DE LA NUEVA TEORÍA DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES.

 

EL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES es un diseño estructural generado por la nueva Ciencia de la Ingeniería de las estructuras matemáticas, formado por una matriz cuadrada tridimensional de tres filas por tres columnas, y con dimensión o tamaño de orden tres denominadas entradas de la matriz. La matriz tridimensional se va a utilizar para realizar un seguimiento de los parámetros de la matriz, y describir un sistema de ecuaciones lineales denominado de relaciones comunes, con una matriz identidad como elemento unitario dentro del anillo de matrices tridimensionales. Esta matriz está formada por una serie de variables (v,s,c) que son los componentes de una familia de ecuaciones lineales en las variables tridimensionales (e1=x1, y1, z1; e2=x2, y2, z2; e3=z1, z2, z3)  con valores en un cuerpo K y con coeficientes en K.

EL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES está compuesto por dos modelos: (Modelo Directo o de intercambio de componentes y Modelo Indirecto de Relaciones Variables).

El Modelo Directo o de Intercambio de componentes (Mic): es un diseño estructural formado por una matriz cuadrada de intercambio de componentes; es decir, que los elementos que están por encima de la diagonal principal se intercambian con los elementos que estan por debajo de la diagonal principal, y dicho intercambio genera un vector director único: Por ejemplo  Vd=(2,4) à Vd= (v,2,4), Vd= (4,s,2), Vd= (2,4,c), entonces el sistema sería: vx+2y+4z=b1; 4x+sy+2z=b2; 2x+4y+cz=b3, siendo B=(b1,b2,b3) la matriz independiente. La matriz de intercambio de componentes (Mic) se puede convertir en matriz opuesta si a la matriz identidad le sumamos la matriz negativa, dándonos una matriz cuya traspueta nos da una matriz opuesta : (Mic)+(-Mic)=Mic*, Mic*traspuesta=Mic Opuesta.

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El Modelo Directo o de Intercambio de componentes consiste en hallar los componentes de la matriz Mic (matriz origen) y los componentes de la matriz ampliada, que son las que forman el anillo del modelo en las propiedades de la suma (optimización), resta (minimización) , multiplicación (efecto multiplicador) y división (segmentación). Calculamos su inversa para poder desarrollar el resultado de la matriz en los procesos de producción, y poder planificar la producción en los mercados.

El Modelo Indirecto de Relaciones Variables: es un diseño estructural formado por una matriz cuadrada de relaciones variables; es decir, generada por tres vectores directores: Por ejemplo Vd1= (1,2), Vd2= (4,3), Vd= (3,2). La matriz de Relaciones Variables formaría un sistema de ecuaciones lineales de relaciones comunes: Vd1(0,1,2), Vd2(4,0,3) y Vd3=(3,2,0), entonces el sistema sería: 0x+y+2z=b1; 4x+0y+3z=b2; 3x+2y+0z=b3, siendo B=(b1,b2,b3) la matriz independiente.

 

El Modelo Indirecto de Relaciones Variables consiste en hallar los componentes de la matriz de relaciones variables (matriz origen) y los componentes de la matriz ampliada, que son las que forman el anillo del modelo en las propiedades de la suma (optimización), resta (minimización) , multiplicación (efecto multiplicador) y división (segmentación). Calculamos su inversa para poder desarrollar el resultado de la matriz en los procesos de producción, y poder planificar la producción en los mercados.

 

 

El SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE RELACIONES COMUNES es un diseño estructural que tiene varias aplicaciones y será objeto de estudio para diseñar: La Matriz Geométrica Tridimensional. El Sistema de Ecuaciones Lineales Tridimensionales de Relaciones Comunes. El Sistema estructural de Funciones Bidimensionales, y la aplicación lineal  a una base de componentes de  matriz columna.

 

 

 

 

 

 

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1. MODELO MATEMÁTICO DEL DESARROLLO DE LA NUEVA TEORÍA DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES APLICADA A LA GEOMETRÍA TRIDIMENSIONAL.

Decimos que (v,s,c) perteneciente a K es un valor propio de M; si observamos que, (v,s,c) es un valor propio del endomorfismo.

Por lo tanto, sí existe (x1,x2,,xn) perteneciente a K^n, (x1,,xn) y distinto de cero (0,,0), tal que: xM=(x1,x2,,xn)

M=(v,s,c)*(x,y,z) à M=(vx,sy,cz).

Entonces la matriz de relaciones comunes tendría la siguiente expresión analítica:

Mnxm=(v11x1+s12y1+c13z1++N1nxn=b1);(v21x2+s22y2+c23z2++N2nxn=b2);(v31x3+s32y3+c33z3+...+N3nxn=b3),..., (vm1x1+sm2x2+cm3x3+...+Nmnxn=bm).

La expresión vectorial la denotamos de la siguiente manera:

(x1,y1,z1)=(v11=x1, s12=y1, c13=z1)

(x2,y2,z2)=(v21=x2, s22=y2, c23=z2)

(x3,y3,z3)=(v31=x3, s32=y3, c33=z3)

y siendo M(v,s,c) la matriz con expresión analítica de los modelos:

M(v,s,c)= (v11,s12,c13); (v21,s22,c23); (v31,s32,c33).

El Sistema de Ecuaciones de Relaciones Comunes se desarrolla a traves de dos modelos que serán los encargados de calcular las variables de la matriz geométrica tridimensional. En el Modelo Directo se desarrolla por medio de un  vector director único (Vd). Por ejemplo: Si Vd=(2,4), y el vector de la diagonal  d=(v11,s22,c33) lo igualamos a cero, entonces el vector matricial de imtercambio de componentes quedaría de la siguiente manera: Vd=(0,2,4), Vd=(4,0,2) y Vd=(2,4,0). En el Modelo Indirecto se desarrolla por medio de tres vectores directores (Vd). Por ejemplo: Si Vd1=(1,2), Vd2=(4,3), Vd3=(3,2), y el vector de la diagonal d=(v11,s22,c33) lo igualamos a cero, entonces el vector matricial variable quedaría de la siguiente manera: Vd1=(0,1,2), Vd2=(4,0,3) y Vd3=(3,2,0). 

 

I) Modelo Directo o de Intercambio de Componentes: Entorno global y límites espaciales.

1ª relación (Vd): Int.Comp.(x,y,z)= vector (2,4), entonces (x1,y1,z1)=(0,s12,c13)    

2ª relacíón (Vd): Int.Comp. (x,y,z)= vector (4,2), entonces (x2,y2,z2)=(v21,0,c23)    

3ª relación (Vd): Int.Comp. (x,y,z)= vector (2,4), entonces (x3,y3,z3)=(v31,s32,0)    

 

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II) Modelo Indirecto de Relaciones variables: Entorno global y límites espaciales.

1ª relación (Vd1): Relac.Var.(x,y,z)= vector (1,2), entonces (x1,y1,z1)=(0,s12,c13)     

2ª relacíón (Vd2): Relac.Var.(x,y,z)= vector (4,3), entonces (x2,y2,z2)=(v21,0,c23)    

3ª relación (Vd3): Relac.Var.(x,y,z)= vector (3,2), entonces (x3,y3,z3)=(v31,s32,0)    

 

La matriz M(v,s,c) es una familia de ecuaciones lineales, desarrollada por una serie de componentes o variables. Las variables (v), (s), y (c) por la diagonal de la matriz la denotaremos como diagonal del núcleo de operaciones. El núcleo de operaciones es variable y los demás componentes fijos o variables (según el caso a desarrollar).

Sea v=s.c entonces:

s=v/c  y  c=v/s.

(v=s.c; s=v/c); c=v/s).

 

Propiedades generales de la expresión analítica a estudiar en las propiedades básicas (suma, resta, multiplicación y división):

(a=b+c); (a=b-c); (a=b.c); (a=b/c)

Suma: s+c=(v/c)+(v/s)    a=s+c  b=v/c  c=v/s, entonces  a=b+c.

Resta: s-c=(v/c)-(v/s)     a=s-c  b=v/c   c=v/s, entonces a=b-c.

Multiplicación: s.c=(v/c).(v/s)   a=s.c   b=v/c    c=v/s, entonces a=bxc.

División: s/c=(v/c)/(v/s)    a=s/c  b=v/c  c=v/s, entonces a=b/c.

Entonces: a=v; b+c=s.c; s=b; v=s.c.

 

Estas variables van a tener una secuencia determinada con el desarrollo de una  matriz de intercambio de componentes común a todo espacio de R como conjunto de todas sus propiedades básicas (la suma, la resta, la multiplicación y la división).

Ejemplo: Denotamos V=SxC, entonces  S=V/C y C=V/S.

Por sustitución V=SxC, pués aplicamos SxC=(V/C)x(V/S), entonces obtenemos la propiedad básica de la multiplicación dentro del conjunto de todo espacio R.

Sea todo espacio de R conjunto de la propiedad básica de la suma. Desarrollamos el conjunto y lo relacionamos con la propiedad de la suma, entonces:

V/S+V/C=S+C

(V*C+V*S)/S*C=S+C

desarrollamos el factor común de V:

V*(C+S)/S*C=S+C.

 

                                                            11.-

Ahora generamos un subconjunto de la operación denominado subconjunto generador de R, o subconjunto generador de la secuencia de intercambio de componentes. Sea a=S+C, entonces:

V*(a)/S*C= a

V*(a)=(S*C)*(a)

V*(a)-(S*C)*(a)=0

desarrollamos el factor común de a:

[(V)-(S*C)]*(a)=0

Ahora generamos un subconjunto de la operación denominado subconjunto generador de R, o subconjunto generador de la secuencia de intercambio de componentes. Sea b=[(V)-(S*C)]*(a), entonces:

bxa=0  dado que:

a=s+c 

b=[V-(S*C)]

Ahora generamos un subconjunto de la operación denominado subconjunto generador de R como operación interna del subconjunto b, o subconjunto generador de la secuencia de intercambio de componentes como operación interna del subconjunto b.

Generalidades:

Sea p=(S*C), entonces:

b=[V-p] dado que:

a=S+C

b=[V-(S*C)]. Aplicamos b*a=0, entonces:

[V-(S*C)]*(S+C)=0

S*V-S(S*C)+C*V-C(S*C)=0

S*V-[S2*(S*C)]+C*V[(C*S)*C2]=0, sea p=(S*C), por sustitución:

S*V-S2*p+C*V-C2*p=0

(S*V+C*V)-(S2*p+C2*p)=0

V(S+C)-p(S2+C2)=0

-p(S2+C2)= -V(S+C)

P=V(S+C)/(S2+C2)

p=V(a)/a2, entonces p=v*(a)/a2 como operación interna del subconjunto b.

Sea b*a=0, entonces b=a.

V-(S*C)=(S+C)

V-p=b, entonces b=V-p.

Sea a=S+C y  b=V-p, entonces:

[V-(v*a)/a2]*S+C=0,  y sabemos que a=(V*a)/(s*c).

 

                                                            12.-

A) DESARROLLO MATEMÁTICO DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES APLICADA A LA GEOMETRÍA TRIDIMENSIONAL.

 

I) APLICACIONES BÁSICAS PARA LAS RELACIONES DEL MODELO DIRECTO E INDIRECTO: (Estudio del Modelo Directo o de Intercambio de Componentes: Entorno global y límites espaciales).

Modelo Directo de Intercambio de Componentes: Entorno global y límites espaciales.

1ª relación (Vd): Int.Comp.(x,y,z)= vector (2,4), entonces (x1,y1,z1)=(0,s12,c13)    

2ª relacíón (Vd): Int.Comp. (x,y,z)= vector (4,2), entonces (x2,y2,z2)=(v21,0,c23)    

3ª relación (Vd): Int.Comp. (x,y,z)= vector (2,4), entonces (x3,y3,z3)=(v31,s32,0)    

 

1.1            OPERACIONES DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES CON LAS PROPIEDADES DE LA SUMA.

 

Mnxm=(V11, V21, V31; S12, S22, S32; C13, C23, C33), y sea (a,b) subconjunto generador de R, junto con (p) como operación interna de subconjunto b.

Generalidades de las propiedades de la suma:

 (v/s)+(v/c)=s+c; ((v.c)+(v.s))/(s.c)=s+c, s+c=a; (v(c+s)/s.c)=a; (v.a)/(s.c)=a; (v.a)=(s.c).a; v(a)-s.c(a)=0.

(v.(a)/(s.c))=a; v.a-s.c(a)=0; ((v)-(s.c)).(a)=0, b=((v)-(s.c)); b.a=0

a=s+c; b=v-(s.c), p=s.c, p=(v.(a))/a^2

 

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

V11      S12      C13         a=s+c

V21      S22      C23         b=(v-s.c)

V31      S32      C33         p=(v(a)/a^2)

 

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

Rv(v=s.c)     Rs=(s=b=v/c)    Rc=(c=v/s)     Ra=s+c    Rb=(v/c)   Rp=(v(a)/a^2)

V11=            S12=2               C13=4            a1=            b1=            p1=

V21=4           S22=                C23=2            a2=            b2=            p2=    

V31=2           S32=4               C33=             a3=            b3*=           p3=

b*=4à operación interna de p, entonces b3=v3-p3,

 

 

                                                       13.-

Aplicación: a=s+c; b=(v/c)

b.a=(v/c).(s+c)

 

Mnxm=(v11x1+s12y1+c13z1++N1nxn=b1);(v21x2+s22y2+c23z2++N2nxn=b2);(v31x3+s32y3+c33z3+...+N3nxn=b3),..., (vm1x1+sm2x2+cm3x3+...+Nmnxn=bm).

 

Aplicación: a=s+c; b=v-s.c

b.a=(v-s.c).(s+c)

v-s.c

* s+c

-----------

s.v-s(s.c)+c.v-c(s.c)=0

s.v-((s^2.(s.c))+c.v.((c.s).c^2))

Entonces: p=s.c

s.v-s^2.p+c.v-c^2.p=0

(s.v+c.v)-(s^2.p+c^2.p)=0

v(s+c)-p(s^2+c^2)=0

-p(s^2+c^2)=-v(s+c)

p=(v.(s+c)/(s^2)+(c^2))

p=v.a/a^2

a) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x1,y1)=(S12,C13).   

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

a1= S12+C13, entonces a1=2+4,   a1=6

a1=2+4=6; entonces v=s.c; v=2.4, v=8

 

Hallar el valor de V11.

V*(a)-[s*c(a)]=0     (V*6)-[2*4*(6)]=0   6V=48  V11=8.

Entonces b1=v/c; b1=8/4=2; b1=2

P1=V1(a1)/(a1^2) p1=8*6/6^2,  p1=48/36 p1=1,333

 

Sea la variable (x,y)=vector (2,4), entonces (S12,C13)=(2,4)

 

  

 

 

                                                            14.-

Resultados de la relación a):

     a1=6          b1=2            p1=1,333

     V11=8        S12=2          C13=4

 

b) Sea la variable (y,x)= vector (4,2), entonces (y2,x2)=(V21,C23).   

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

Hallar el valor de S22.

Sea b*a=0

b=[V-(S*C)]

a=(S+C)

[V-(S*C)]*(S*C)=0

a=1/b  y  b=1/a

b*a=1/b*a

b*a=(V*C)-C*S2

[(V-S*C)]*(S*C)=0, entonces:

(4-2S)*(S+2)= 4S+8-2S^2-4S,   8-2S^2=0 S^2=8/2  S^2=4

S=raiz cuadrada (4)=2      S22=2

 

p=V(a)/a2, entonces p3=4*4/16   p2=1

a2=S+C, entonces a2=2+2   a2=4

b2=v/c, entonces b2=4-2     b2=2

a2=S22+C23   a2=2+2=4  a2=4.

b2=(V21/C23)   b2=(4-2)   b2=2.

 

Resultados de la relación b):

     a2=4          b2=2            p2=1

     V21=4        S22=2          C23=2

 

c) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x3,y3)=(V31,S32).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

b*a=v-p(a), entonces b*a=0    

a3=S32+C33

 

                                                            15.-

b3=V31-p3, entonces a3*b3= (V31*S32)+(V31*C33)-(p*S32)-(p*C33).

V31*(S32+C33)-p(S32+C33)=0

V31*(a)-p3(a3)=0, entonces (V31-p3)*(a3)=0

V3=b3+p3

a3=S3+C3

b3=V3-p3  

p3*=V31*a/a2, entonces p3*=2*

b*a=(V-(V(a)/a2))*(a)

b*a=2-(2*(4+C)/(4+C)2)=2-(8+2C/16+8C+C2)

b*a=(V*C)-C*S2

b*a=2C-C*4&2=2C-16C=-14C, entonces b*a=-14C

(p*) -à resultado de p como operación interna del subconjunto b.

-14c=2-(2*(4+C)/(4+C)2)

-14c=(2c2+14c+24)/c2+8c+16

2c2+14c+24=0  c=(-3,-4)

c2+8c+16=0   c=-4

a3=S3·+C3=4+0,5, c3=4,5

p3=V3*a3/a3&2, p3=0,44

b3=2-0,44=1,56, b3=1,56

Para (b1,b2)->b=v/c, para b3=v3-p3.

a3=s3+c3

v3=b3.p3

b.a=v-((v.a/a^2)/a^2)).a

Aplicación de la formula:

b.a=(v3-((v(a)/(a)^2)).a

v.a/a^2=p

 

(4+c).(4+c)=c^2+8c+16

c^2+8c+16=0

b.a=v-p.(a)

-14c=2-((2.(4+c)/(4+c)^2))

-14c=((2c^2+14c+24)/(c^2+8c+16))

2c^2+14c+24=0

valores de c: c1=-3, c2=-4.

c^2+8c+16=0

c=-4

a) -14c=c1/c >  -14c=-3/-4 > c=0,75/-14

c=negativo no hay solución.

                                                            16.-

b) -14c=-4/-4> c=1/14 c33=0,5

c33=0,5.

 

Generalidades de la relación c como resultado de p, y como operación interna del subconjunto b:

     a3=4,5       b3*=4            p3*=2

V31=2        S32=4          C33=0,5

 

d) Resultado de las generalidades de las propiedades de la suma:

 (v/s)+(v/c)=s+c; ((v.c)+(v.s))/(s.c)=s+c, s+c=a; (v(c+s)/s.c)=a; (v.a)/(s.c)=a; (v.a)=(s.c).a; v(a)-s.c(a)=0.

(v.(a)/(s.c))=a; v.a-s.c(a)=0; ((v)-(s.c)).(a)=0, b=((v)-(s.c)); b.a=0

a=s+c; b=v-(s.c), p=s.c, p=(v.(a))/a^2

 

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

 

Rv(v=s.c)     Rs=(s=b=v/c)    Rc=(c=v/s)     Ra=s+c    Rb=(v/c)   Rp=(v(a)/a^2)

V11=8           S12=2               C13=4            a=6           b=2                p=1,3

V21=4           S22=2               C23=2            a=4           b=2                p=1

V31=2           S32=4               C33=0,5         a=4,50      b3*=4*=1,56  p3*=2*=0,44

b3*=4, y p3*=2 à resultado de p como operación interna del subconjunto b, entonces b3=v3-p3, b3=2-0,44. b3=1,56

Aplicación: a=s+c; b=(v/c), b.a=(v/c).(s+c).

 

En la dinámica de los subconjuntos a, b y p se generan dos tipos de sistemas:

a)     Sistema On cuando la matriz no es inversible.

b)     Sistema Uno cuando la matriz es inversible.

 

Mnxm=(v11x1+s12y1+c13z1++N1nxn=b1);(v21x2+s22y2+c23z2++N2nxn=b2);(v31x3+s32y3+c33z3+...+N3nxn=b3),..., (vm1x1+sm2x2+cm3x3+...+Nmnxn=bm).

 

 

 

                                                       17.-

1.2. OPERACIONES DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES CON LAS PROPIEDADES DE LA RESTA.

 

Mnxm=(V11, V21, V31; S12, S22, S32; C13, C23, C33), y sea (a,b) subconjunto generador de R, junto con (p) como operación interna de subconjunto b.

 

Generalidades de las propiedades de la resta:

(v/s)-(v/c)=s-c; ((v.c)-(v.s))/(s.c)=s-c; ((v.c)-(v-s)/(s-c))=(s-c); ((v.(c-s)/(s.c))=(s-c); ((v.[-(-c+s)]/(s.c))=-[(-s+c)].

Entonces a1=c-s, a2=s-c; tal que, ((v.a1)/(s.c)=a2

v.a1=(s.c).a2-> Ecuación general: [v.a1]-[(s.c).a2]=0

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

V11      S12      C13         a=s+c

V21      S22      C23         b=(v-s.c)

V31      S32      C33         p=(v(a)/a^2)

 

a) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x1,y1)=(S12,C13).   

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

Hallar el valor de V11.

(v/s)-(v/c)=(s-c);  ((v.c)-(v.s)/(s.c))=(s-c)

(v.(c-s)/(s.c))=(s-c); [v[-(-c+s)]/(s.c)]=-[(-s+c)]

(v.a1/s.c)=a2

v.a1=s.c(a2) à v.(a1)-s.c.(a2)=0

v.(a1)-s.c.(a2)=0

 

Desarrollo aplicado a los valores del ejemplo de la matriz.

a1=c-s; a1=2-s; a1=2 siendo s=0.

a2=s-c; a2=s-2; a2=-2 siendo s=0.

Entonces siendo a1=2 y a2=-2;

v.(a1)-s.c.(a2)=0; v.(2)-s.c(-2)=0

2v-2.4.(-2)=0

2v+16=0; 2v=-16; v11=-8

v11=-8

 

                                                       18.-

(v, -(s.c)*(a1,a2)=0

(-8,-8)*(2,-2)=0; (-16,16)=0; (b,b)*(a1,a2)

b=v-s.c; b= -8-8=-16

b=-16

p1=(-v.a1)/(a2)^2

p1=(8.2)/4; p1=4

 

p2=(-v.a2)/(a1)^2

p2=(8.-2)/4; p2=-4

p=(p1,p2)=(4,-4)

 

Resultados de la relación a):

     (a1,a2)=(2,-2)          b1=-16          (p1,p2)=(4,-4)

     V11=-8                   S12=2             C13=4

 

b) Sea la variable (y,x)= vector (4,2), entonces (y2,x2)=(V21,C23).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

s=S22=2

b=v-s.c=4-2.2=0  b=0

a1=c-s   a1=2-2=0  a1=0

a2=s-c   a2=2-2=0  a2=0

 

         v-s.c

            c-s

-----------  

c.v-c(s.c)-s.v+s(s.c)=0

c.v-c(s.c)-s.v+s(s.c)=0

siendo p=s.c entonces:

a) c.v-c.p1-s.v+s.p1=0

c.v-s.v-c.p1+s.p1=0

v(c-s)+p1(s-c)=0

v.a1+p1.a2=0

 

 

 

                                                            19.-

p1.a2=-v.a1

p1=((-v.a1)/(a2)

p1=(-4.0)/(-2)

p1=(0)/(-2)=0

p1=0

         v-s.c

            s-c

-----------  

s.v-s(s.c)-c.v+c.(s.c)=0

s.v-s.p2-c.v+c.p2=0

siendo p=s.c entonces:

b) s.v-c.v+p2.(c-s)=0

v.(s-c)+p2(c-s)=0

v.a2+p2.a1=0

 

p2.a1=-v.a2

p2=((-v.a2)/(a1)

p2=(-4.(0))/(2)

p2=(0)/(2)=0

p2=0

 

Generalidades:

a1=0

a2=0

b=0  p=(p1,p2)=(0,0)

 

Hallar el valor de S22.

v(c-s)+p1(s-c)=0

4(2-s)+p1(s-2)=0

8-4s+p1.s-2.p1=0

8-4s+0.(s-2).2=0

-4s+8=0

s=(-8)/(-4)=2

S22=2

Resultados de la relación b):

     (a1,a2)=(0, 0)          b1=0          (p1,p2)=(0,0)

     V21=4        S22=2          C23=2

 

                                                       20.-

c) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x3,y3)=(V31,S32).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

b*a=v-p(a), entonces b*a=0    

a3=S32+C33

b3=V31-p3, entonces a3*b3= (V31*S32)+(V31*C33)-(p*S32)-(p*C33).

V31*(S32+C33)-p(S32+C33)=0

V31*(a)-p3(a3)=0, entonces (V31-p3)*(a3)=0

V3=b3+p3

a3=S3+C3

b3=V3-p3  

p3=V31*a/a2, entonces p3=2*

b*a=(V-(V(a)/a2))*(a)

b*a=2-(2*(4+C)/(4+C)2)=2-(8+2C/16+8C+C2)

b*a=(V*C)-C*S2

b*a=2C-C*4&2=2C-16C=-14C, entonces b*a=-14C

b=v31-s32.c33

v31=2     s32=4

a1=c-s    a1=c33-4

a2=s-c    a2=4-c33

 

b.a=(v3-((v(a)/(a)^2)).a

v.a/a^2=p

(4+c).(4+c)=c^2+8c+16

c^2+8c+16=0

b.a=v-p.(a)

-14c=2-((2.(4+c)/(4+c)^2))

-14c=((2c^2+14c+24)/(c^2+8c+16))

2c^2+14c+24=0

 

Aplicación de la formula:

-14c=((2c^2-4.(s.c)-2c-2s+2)/(c^2-2s.c+1)

-14c=(c^2.[2-4.s.c-2c-2s]+2/(c^2.(1)-2.s.c+1)

-14c=(-4.s.c-2.c-2.s+4)/(-2.s.c+2)

-14c=(s.c).[(-4)-2.c-2.s+4]/(s.c).[(-2)+2]

                                                            21.-

-14c=-2c-2s

-14c=-2.(c-s) y -14c=-2.(s-c)

-14c=-2.a1 y  -14c=-2.a2

a1=c-4      a2=4-c

 

-14c=-2.(c-4)

-14c=-2c+8

-14c+2c=8   -12c=8

c=(-2/3)

Para a1, c=(-2/3)= -0,6

-14c=-2.(4-c)

-14c=+2c-8

-14c-2c=-8   -16c=-8

Para a2, c=2

c3=(c1,c2)=(-0,6; 2)

 

a3=s32-c33

a3=(a1,a2)=s32-(c1,c2)

a1*=s32-c1=4-(-0,6)=(4,6)  a1=4,6

a2*=s32-c2=4-2=2   a2=2

a3*=(a1,a2)=(4,6; 2)

 

b3*=v-s.c  b=(b1,b2)=(4,64; -6) 

b1*=2-4.(-0´6)  b1=4,64

b2*=2-4.(2)   b2=-6

 

Para b3=v3-p3, entonces b3-v3=-p3

p3*=v31-b3  p3=(p1,p2)=(-2,64, 8)

p1*=v31-b1  p1=2-4,64   p1=-2,64

p2*=v31-b2  p2=2-(-6)    p2=8

 

Generalidades de la relación c como resultado de p, y como operación interna del subconjunto b:

a3*=(a1,a2)=(4,6;  2)  

b3*=(b1,b2)=(4,64; -6)

p3*=(p1,p2)=(-2,64; 8)

v31=2    s32=4   c33=(c1,c2)=(-0,6; 2)

 

                                                       22.-

d) Resultado de las generalidades de las propiedades de la resta:

(v/s)-(v/c)=s-c; ((v.c)-(v.s))/(s.c)=s-c; ((v.c)-(v-s)/(s-c))=(s-c); ((v.(c-s)/(s.c))=(s-c); ((v.[-(-c+s)]/(s.c))=-[(-s+c)].

Entonces a1=c-s, a2=s-c; tal que, ((v.a1)/(s.c)=a2

v.a1=(s.c).a2-> Ecuación general: [v.a1]-[(s.c).a2]=0

 

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

Rv             Rs           Rc                     Ra=s-c      Rb=v-(s.c)         Rp=(v.a)/a^2

V11=-8  S12=2     C13=4              a=(2,-2)       b=+-16              p=(4, +4)

                                                      a1*=4,6        b1*=4,64            p1*=-2,64  

V21=4    S22=2     C23=2              a=(0, 0)        b=0                    p=(0,0)   

                                                      a2*=2           b2*=-6               p2*=8       

V31=2    S32=4     C33=(-0,6; 2)   a=(-4,6; 2)     b=(-4,40; -6)   p=(0,43;1)

                                                      a3*=(4,6;2)     b3*=(4,64;-6)    p3*=(-2,64;8)          

 

Mnxm=(v11x1+s12y1+c13z1++N1nxn=b1);(v21x2+s22y2+c23z2++N2nxn=b2);(v31x3+s32y3+c33z3+...+N3nxn=b3),..., (vm1x1+sm2x2+cm3x3+...+Nmnxn=bm).

 

1.3.         OPERACIONES DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES CON LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION.

Desarrollo de las operaciones básicas:

V/S.V/C=S.C

V^2/S.C=S.C

V^2=(S.C)^2

V=S.C

P es distinto de S*C   y   P es distinto de V.

a=v/p

b=v-(s.c)

v=raiz cuadrada de p^2 ó raiz cuadrada de (s.c)^2.

S=(b+v)/c         C=(b+v)/s

B=v-s.c, entonces:

b-v=-s.c

-s=(b-v)/c

s=(b+v)/c

c.s=b+v

c=(b+v)/s

                                                       23.-

a) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x1,y1)=(S12,C13).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

a=v/p=8/8=1  a=1

v=s.c=2.4=8     v=8

p=(v.a)/a^2=(8.1)/1^2   p=8

b=v-s.c=8-2.4=8-8=0  b=0

 

Generalidades:

a1=1     b1=0      p1=8

V11=8   S12=2    C13=4

 

b) Sea la variable (y,x)= vector (4,2), entonces (y2,x2)=(V21,C23).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

 

b=v-s.c  4-s.2=0  -2s+4=0  s=4/2   s=2

b=v-s.c   b-v+s.c=0     0-4+s.2=0     2s=4     s=4/2     s=2

S22=2

a2=V21/p2=4/4=1    a2=1

b2=V21-(S22.C23)=4-2.2=0    b2=0

p2=(V21.a2)/(a2^2)=(4.1)/1^2=4/1=4   p2=4

 

Generalidades:

A2=1     b2=0      p2=4

V21=4   S22=2    C23=2

 

c) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x3,y3)=(V31,S32).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

                                                            24.-

C33=[(s.c).(s)/v3(s+c)]=[(4.c).4/2(4+c)]=[16c/8+2c]

C33=[16c/8+2c] -à 8c+2c^2-16c=0 -à 2c^2-8c=0

C33= -b+-raiz cuadrada b^2-4.a.c/2.a= +8+-raiz cuadrada -8^2-4.2.0/2.2=(8+-8)/4

dos soluciones: c=(4, 0)

2c^2-8.c=0  -à 2.4^2-8.4=32-32=0, entonces la solución es c=4.

2c=8, entonces la solución es c=4.

C33=(b+v)/c   C33=(0+2)/4   C33=0,5.

v=raiz (s.c)^2  v=raiz (4.0,5)^2=raiz 2^2=raiz 4=2 v=2

a3=v3/p3=2/2=1

b3=v-s.c=2-4.0,5=2-2=0

p3=(v.a)/a^2=2.1/1^2=2

 

d) Resultado de las generalidades de las propiedades de la multiplicación:

 

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

Rv=raiz(s.c)^2             Rs           Rc              Ra=v/p   Rb=v-(s.c)   Rp=(v.a)/a^2

V11=8                     S12=2     C13=4            a=1             b=0             p=8

V21=4                     S22=2     C23=2            a=1             b=0             p=4 

V31=2                     S32=4     C33=0,5         a=1             b=0             p=2

 

Mnxm=(v11x1+s12y1+c13z1++N1nxn=b1);(v21x2+s22y2+c23z2++N2nxn=b2);(v31x3+s32y3+c33z3+...+N3nxn=b3),..., (vm1x1+sm2x2+cm3x3+...+Nmnxn=bm).

 

1.4            OPERACIONES DEL SISTEMA DE ECUACIONES DE RELACIONES COMUNES CON LAS PROPIEDADES DE LA DIVISION.

 

Desarrollo de las operaciones básicas:

 

V/S:V/C=S:C

(V.C/V.S)/=S/C

V.(C/S)/=S/C.

v.(c/s)=s/c

v.(c/s).c=s

v.(4/2).4=2

v.8=2   v=2/8   v=0,25 V11=0,25

                                                       25.-

a)  Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x1,y1)=(S12,C13).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

V11=b+p=     v11=-0,25+0,5=0,25

a1=s/c=2/4=0,5  a1=0,5

b1=v-p  b1=0,25-0,25=0

p1=v-b=   p1=0,25-0=0,25

 

v(a)/s.c=s.c siendo a= s/c y p=s.c

v(a)/s.c=s.c

p.s=c.v(s/c)

p1=c.v(s/c)/s=(4.0,25.(2/4)/2=1.0,50/2=0,25

 

Generalidades:

a1=0,5       b1=0      p1=0,25

V11=0,25   S12=2           C13=4

 

b) Sea la variable (y,x)= vector (4,2), entonces (y2,x2)=(V21,C23).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

V21=b+p=     v21=0+4=4

a2=s/c=2/2=1  a2=1

b2=v-p  b2=4-4=0

p2=v-b=   p2=4-0=4

 

v(a)/s.c=s.c siendo p=s.c

v(a)/s.c=s.c

p.s=c.v(a)

p2=c.v(a)/s=(2.4.1)/2=4

 

 

 

                                                       26.-

Generalidades:

a2=1     b2=0      p2=4

V21=4   S22=2    C23=2

 

v.a/s.c=s/c siendo a=s/c y p=s.c

p.s=c.v.(a)

s=(c.v.(s/c))/p

siendo a=s/c y p=s.c entonces:

s=[(2.4).(s/2)]/(s.2)=[(8s/2)]/2s=[8s/4s]=2   S22=2

 

c) Sea la variable (x,y)= vector (2,4), entonces (x3,y3)=(V31,S32).   

 

                     V11          S12= 2    C13=4

Mnxm           V21=4      S22         C23=2 

                          V31=2      S32=4        C33    

 

v31=b+p=     v31=-2+4=2

a3=s/c=4/1,1414=1,75  a3=3,50

b3=v-p  b=2-4=-2

p3=v-b=   p=2+2=4

v(a)/s.c=s.c siendo p=s.c

v(a)/s.c=s.c

p.s=c.v(a)

p3=c.v(a)/s=(1,1414*2*1,75)/4=4

v.a/s.c=s/c siendo a=s/c y p=s.c

c.v.(a)=p.s

c=p.s/(c.v.(s/c))

siendo a=s/c y p=s.c entonces:

c=[(4.c).(4]/[(c.2.(4.c)]=[(16.c)/(2.c.4.c)]=[(16.c)/8.c^2]

c=16c/8c^2

c=c(16)/c(8c)

c=16/8c 8c^2=16  c^2=16/8  c^2=2 c=raiz cuadrada de 2   C33=1,1414

 

Generalidades de la relación c como resultado de p, y como operación interna del subconjunto b:

a3*=1,75     b3*=-2      p3*=4

V31=2        S32=4      C33=1,1414

v11=b+p=     v11=0+0,25=0,25

                                                            27.-

a1=s/c=2/4=0,5  a1=0,5

b1=v-p  b1=0,25-025=0

p1=v-b=   p1=0,25-0=0,25

p1=c.v(s/c)/s=(4.0,25).(2/4)/2=1.0,50/2=0,25

 

v21=b+p=     v21=0+4=4

a2=s/c=2/2=1  a2=1

b2=v-p  b2=4-4=0

p2=v-b=   p2=4-0=4

p2=c.v(a)/s=(2.4.1)/2=4

 

v31=b+p=     v31=-2+4=2

a3*=s/c=2/1,1414=1,75  a=1,75

b3*=v-p  b=2-4=-2

p3*=v-b=   p=2+2=4

p3*=c.v(a)/s=(1,1414*2*1,75)/4=4

 

d) Resultado de las generalidades de las propiedades de la división:

Matriz Mnxm: (n=1,2,3,...,xn), (m=1,2,3,...,xm)

                                               

Rv=b+p                                                      Ra=s/c   Rb=v-(p=s.c)   Rp=v-b

Rv=(s/c)/(c/s)   Rs=v.(a)/p    Rc=p.s/v.(a)   Ra=s/c   Rb=v-(p=s.c)   Rp=c.v(a=s/c)/s

V11=0,25         S12=2            C13=4            a1=0,5          b1=0            p1=0,25

V21=4              S22=2            C23=2            a2=1             b2=0             p2=4

V31=2              S32=4            C33=1,1414   a3=3,50        b3=0             p3=2

                                                                           a3*=1,75       b3*=-2         p3*=4

 

Mnxm=(v11x1+s12y1+c13z1++N1nxn=b1);(v21x2+s22y2+c23z2++N2nxn=b2);(v31x3+s32y3+c33z3+...+N3nxn=b3),..., (vm1x1+sm2x2+cm3x3+...+Nmnxn=bm).

 

En la dinámica de los subconjuntos a, b y p se generan dos tipos de sistemas:

c)      Sistema On cuando la matriz no es inversible.

d)     Sistema Uno cuando la matriz es inversible.

 

 

                                                       28.-


 






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